如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB5-优题课

抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $B (- 1, 0)$ ， $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 是抛物线上位于直线 $AC$ 上方的一点， $BP$ 与 $AC$ 相交于点 $E$ ，当 $PE : BE = 1 : 2$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $D$ 是抛物线的顶点，将抛物线沿 $CD$ 方向平移，使点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处，且 $D D^{'} = 2 CD$ ，点 $M$ 是平移后所得抛物线上位于 $D^{'}$ 左侧的一点， $MN / / y$ 轴交直线 $O D^{'}$ 于点 $N$ ，连结 $CN$ ．当 $\frac{\sqrt{5}}{5} D^{'} N + CN$ 的值最小时，求 $MN$ 的长．

已知，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ．

（1）如图1，已知点 $D$ 在 $BC$ 边上， $∠ DAE = 90 °$ ， $AD = AE$ ，连结 $CE$ ．试探究 $BD$ 与 $CE$ 的关系；

（2）如图2，已知点 $D$ 在 $BC$ 下方， $∠ DAE = 90 °$ ， $AD = AE$ ，连结 $CE$ ．若 $BD ⊥ AD$ ， $AB = 2 \sqrt{10}$ ， $CE = 2$ ， $AD$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，求 $AF$ 的长；

（3）如图3，已知点 $D$ 在 $BC$ 下方，连结 $AD$ 、 $BD$ 、 $CD$ ．若 $∠ CBD = 30 °$ ， $∠ BAD > 15 °$ ， $A B^{2} = 6$ ， $A D^{2} = 4 + \sqrt{3}$ ，求 $\sin ∠ BCD$ 的值．

资阳市为实现 $5 G$ 网络全覆盖， $2020 - 2025$ 年拟建设 $5 G$ 基站七千个．如图，在坡度为 $i = 1 : 2.4$ 的斜坡 $CB$ 上有一建成的基站塔 $AB$ ，小芮在坡脚 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，然后她沿坡面 $CB$ 行走13米到达 $D$ 处，在 $D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $53 °$ ．（点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$ 处的竖直高度；

（2）求基站塔 $AB$ 的高．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $DE ⊥ AC$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 6$ ， $\tan E = \frac{3}{4}$ ，求 $AF$ 的长．

如图，已知直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 相交于 $A (m, 3)$ 、 $B (3, n)$ 两点．

（1）求直线 $AB$ 的解析式；

（2）连结 $AO$ 并延长交双曲线于点 $C$ ，连结 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，连结 $AD$ ，求 $ΔABD$ 的面积．