（本小题满分12分）已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3c-优题课

（本小题满分12分）已知：如图①，在□ABCD中， AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△QMC∶S_{四边形ABQP}＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ，将 $ΔOBC$ 沿 $BC$ 所在的直线翻折，得到 $ΔDBC$ ，连接 $OD$ ．

（1）用含 $a$ 的代数式表示点 $C$ 的坐标．

（2）如图1，若点 $D$ 落在抛物线的对称轴上，且在 $x$ 轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $ΔOBD$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔOAC$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ ，求 $a$ 的值．

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $M$ 是 $AB$ 的中点，连接 $MC$ ，点 $P$ 是线段 $BC$ 延长线上一点，且 $PC < BC$ ，连接 $MP$ 交 $AC$ 于点 $H$ ．将射线 $MP$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 $60 °$ 交线段 $CA$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）找出与 $∠ AMP$ 相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $CP = \frac{1}{2} BC$ ，求 $\frac{AD}{BC}$ 的值．

（3）在（2）的条件下，若 $MD = \frac{\sqrt{13}}{3}$ ，求线段 $AB$ 的长．

某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 $y (kg)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式为 $y = 2 t + 100 (1 ⩽ t ⩽ 80$ ， $t$ 为整数），销售单价 $p$ （元 $/ kg)$ 与时间第 $t$ 天之间满足一次函数关系如下表：

时间第 $t$ 天	1	2	3	$\dots$	80
销售单价 $p /$ （元 $/ kg)$	49.5	49	48.5	$\dots$	10

（1）直接写出销售单价 $p$ （元 $/ kg)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式．

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ，以 $AE$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $CD$ 相切于点 $F$ ，连接 $BF$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $EG$ ．

（1）求证： $CD = AD + CE$ ．

（2）若 $AD = 4 CE$ ，求 $\tan ∠ EGF$ 的值．

如图， $A$ ， $B$ 两市相距 $150 km$ ，国家级风景区中心 $C$ 位于 $A$ 市北偏东 $60 °$ 方向上，位于 $B$ 市北偏西 $45 °$ 方向上．已知风景区是以点 $C$ 为圆心、 $50 km$ 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$ ， $B$ 两市的高速公路，高速公路 $AB$ 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$