已知x，求代数式的值．-优题课

为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“ $A$ ．奶制品类， $B$ ．肉制品类， $C$ ．面制品类， $D$ ．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

（1）这次抽查了四类特色美食共　　种，扇形统计图中 $a =$ 　　，扇形统计图中 $A$ 部分圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）如果全省共有这四类特色美食120种，请你估计约有多少种属于“豆制品类”？

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A (- 4, 4)$ ， $B (- 2, 5)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

（1）平移 $ΔABC$ ，使点 $C$ 移到点 $C_{1} (- 2, - 4)$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $(0, 3)$ 旋转 $180 °$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出旋转后的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（3）求（2）中的点 $C$ 旋转到点 $C_{2}$ 时，点 $C$ 经过的路径长（结果保留 $π)$ ．

如图， $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ， $BD ⊥ AC$ 于点 $D$ ， $∠ FAC = \frac{1}{2} ∠ ABC$ ，且 $∠ FAC$ 在 $AC$ 下方．点 $P$ ， $Q$ 分别是射线 $BD$ ，射线 $AF$ 上的动点，且点 $P$ 不与点 $B$ 重合，点 $Q$ 不与点 $A$ 重合，连接 $CQ$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ CQ$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ．

（1）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $BP = AQ$ ．

①如图1，当点 $P$ 在线段 $BD$ 上运动时，请直接写出线段 $DE$ 和线段 $AQ$ 的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$ 运动到线段 $BD$ 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $∠ ABC = 2 α \neq 60 °$ ，请直接写出当线段 $BP$ 和线段 $AQ$ 满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $α$ 的三角函数表示）．

俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于 $30 %$ ．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 $y$ 本，销售单价为 $x$ 元．

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式和自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 $w$ 元最大？最大利润是多少元？

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $CD = CB$ ，连接 $DO$ 并延长交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）判断直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BE = 4$ ， $DE = 8$ ，求 $AC$ 的长．