已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，-优题课

已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，

（1）当点P，运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长。
（2）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为?（直接写出答案）
（3）当使△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第 $x$ 天生产的产品数量为 $y$ 件， $y$ 与 $x$ 满足如下关系： $y = \{\begin{matrix} 7.5 x (0 ⩽ x ⩽ 4) \\ 5 x + 10 (4 < x ⩽ 14) \end{matrix}$ ．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第 $x$ 天生产的产品成本为 $P$ 元 $/$ 件， $P$ 与 $x$ 的函数图象如图．工人甲第 $x$ 天创造的利润为 $W$ 元，求 $W$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

如图，信号塔 $PQ$ 座落在坡度 $i = 1 : 2$ 的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成 $60 °$ 角时，测得信号塔 $PQ$ 落在斜坡上的影子 $QN$ 长为 $2 \sqrt{5}$ 米，落在警示牌上的影子 $MN$ 长为3米，求信号塔 $PQ$ 的高．（结果不取近似值）

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是边 $AC$ 上一个动点，过点 $O$ 作直线 $EF / / BC$ 分别交 $∠ ACB$ 、外角 $∠ ACD$ 的平分线于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $CE = 8$ ， $CF = 6$ ，求 $OC$ 的长；

（2）连接 $AE$ 、 $AF$ ．问：当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到什么位置时，四边形 $AECF$ 是矩形？并说明理由．

设 $A = \frac{a - 2}{1 + 2 a + a^{2}} \div (a - \frac{3 a}{a + 1})$ ．

（1）化简 $A$ ；

（2）当 $a = 3$ 时，记此时 $A$ 的值为 $f$ （3）；当 $a = 4$ 时，记此时 $A$ 的值为 $f$ （4）； $\dots$

解关于 $x$ 的不等式： $\frac{x - 2}{2} - \frac{7 - x}{4} ⩽ f$ （3） $+ f$ （4） $+ \dots + f (11)$ ，并将解集在数轴上表示出来．

国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于 $1 h$ ．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中 $A$ 组为 $t < 0.5 h$ ， $B$ 组为 $0.5 h ⩽ t < 1 h$ ， $C$ 组为 $1 h ⩽ t < 1.5 h$ ， $D$ 组为 $t ⩾ 1.5 h$ ．

请根据上述信息解答下列问题：

（1）本次调查数据的中位数落在　组内；

（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．

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