如图，C是以AB为直径的上一点，过点O作OE⊥AC于点E，过-优题课

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 过 $A (2, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．点 $P$ 是该抛物线上一动点，设点 $P$ 的横坐标为 $m (m > 4)$ ．

（1）求该抛物线的表达式和 $∠ ACB$ 的正切值；

（2）如图2，若 $∠ ACP = 45 °$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图3，过点 $A$ 、 $P$ 的直线与 $y$ 轴于点 $N$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ CD$ ，垂足为 $M$ ，直线 $MN$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，试判断四边形 $ADMQ$ 的形状，并说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，以 $CA$ 为边在 $∠ ACB$ 的另一侧作 $∠ ACM = ∠ ACB$ ，点 $D$ 为射线 $BC$ 上任意一点，在射线 $CM$ 上截取 $CE = BD$ ，连接 $AD$ 、 $DE$ 、 $AE$ ．

（1）如图1，当点 $D$ 落在线段 $BC$ 的延长线上时，直接写出 $∠ ADE$ 的度数；

（2）如图2，当点 $D$ 落在线段 $BC$ （不含边界）上时， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $F$ ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 $AB = 6$ ，求 $CF$ 的最大值．

如图，直线 $y = ax + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, b)$ ．将线段 $AB$ 先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t (t > 0)$ 个单位长度，得到对应线段 $CD$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过 $C$ 、 $D$ 两点，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $ABDC$ 的面积；

（3）点 $N$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $M$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上的一个点，若 $ΔCMN$ 是以 $CM$ 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$ 的坐标．

某校开设了“ $3 D$ ”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程	频数	频率
$A$	36	0.45
$B$		0.25
$C$	16	$b$
$D$	8
合计	$a$	1

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　；

（2）“ $D$ ”对应扇形的圆心角为　　度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“ $A$ ”、“ $B$ ”、“ $C$ ”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

如图 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $BP$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点，分别连接 $CB$ 、 $CD$ ， $∠ BCD = 60 °$ ．

（1）求 $∠ ABD$ 的度数；

（2）若 $AB = 6$ ，求 $PD$ 的长度．