已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6c-优题课

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　　；

②在凸四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ 且 $CB \neq CD$ ，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” $)$

（2）如图1， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是半径为1的 $⊙ O$ 上按逆时针方向排列的四个动点， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ， $∠ ADB - ∠ CDB = ∠ ABD - ∠ CBD$ ，当 $6 ⩽ A C^{2} + B D^{2} ⩽ 7$ 时，求 $OE$ 的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a > 0$ ， $c < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点（点 $A$ 在点 $C$ 的左侧）， $B$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $D$ 的坐标为 $(0, - ac)$ ，记“十字形” $ABCD$ 的面积为 $S$ ，记 $ΔAOB$ ， $ΔCOD$ ， $ΔAOD$ ， $ΔBOC$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ；② $\sqrt{S} = \sqrt{S_{3}} + \sqrt{S_{4}}$ ；③“十字形” $ABCD$ 的周长为 $12 \sqrt{10}$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m > 1$ ， $x > 0)$ 的图象经过点 $P (m, 1)$ 和 $Q (1, m)$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $M (x, y)$ 是该函数图象上的一个动点，过点 $M$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A$ ， $B$ ．

（1）求 $∠ OCD$ 的度数；

（2）当 $m = 3$ ， $1 < x < 3$ 时，存在点 $M$ 使得 $ΔOPM ∽ ΔOCP$ ，求此时点 $M$ 的坐标；

（3）当 $m = 5$ 时，矩形 $OAMB$ 与 $ΔOPQ$ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD$ 是边 $BC$ 上的中线， $∠ BAD = ∠ CAD$ ， $CE / / AD$ ， $CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ， $BC = 8$ ， $AD = 3$ ．

（1）求 $CE$ 的长；

（2）求证： $ΔABC$ 为等腰三角形．

（3）求 $ΔABC$ 的外接圆圆心 $P$ 与内切圆圆心 $Q$ 之间的距离．

随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．

（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$ 、 $B$ 两地间的公路进行改建．如图， $A$ 、 $B$ 两地之间有一座山，汽车原来从 $A$ 地到 $B$ 地需途经 $C$ 地沿折线 $ACB$ 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $AB$ 行驶．已知 $BC = 80$ 千米， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$