列方程或方程组解应用题：在练习100米跑步时，小丽为了帮助好-优题课

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, - 1)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, - 4)$

（1）画出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

化简求值： $(\frac{a}{a + 2} + \frac{1}{a^{2} - 4}) \div \frac{a - 1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{2}$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x + 1 > \frac{3 x - 1}{2} \\ 2 x - (x - 3) ⩾ 5 \end{matrix}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (b < 0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2, 0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l : y = kx + 1 - k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $BD$ 垂直于直线 $y = - 1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k = 0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $ΔABC$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

维修次数	8	9	10	11	12
频数（台数）	10	20	30	30	10

（1）以这100台机器为样本，估计"1台机器在三年使用期内维修次数不大于10"的概率；

（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？