如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，-优题课

已知锐角 $ΔABC$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，边角总满足关系式： $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ ．

（1）如图1，若 $a = 6$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 75 °$ ，求 $b$ 的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 $ABC$ 中建一座小型景观桥 $CD$ （如图2所示），若 $CD ⊥ AB$ ， $AC = 14$ 米， $AB = 10$ 米， $\sin ∠ ACB = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，求景观桥 $CD$ 的长度．

永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植 $A$ 、 $B$ 两种经济作物．预计 $B$ 种经济作物亩产值比 $A$ 种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年 $A$ 种经济作物年总产值20万元， $B$ 种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年 $A$ 、 $B$ 两种经济作物应各种植多少亩？

如图，已知点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $B$ 在同一条直线上， $AD = BC$ ， $AE = BF$ ， $AE / / BF$ ．

（1）求证： $ΔAEC ≅ ΔBFD$ ．

（2）判断四边形 $DECF$ 的形状，并证明．

为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．

200名学生党史知识竞赛成绩的频数表

组别	频数	频率
$A$ 组 $(60.5 ~ 70.5)$	$a$	0.3
$B$ 组 $(70.5 ~ 80.5)$	30	0.15
$C$ 组 $(80.5 ~ 90.5)$	50	$b$
$D$ 组 $(90.5 ~ 100.5)$	60	0.3

请结合图表解决下列问题：

（1）频数表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请将频数分布直方图补充完整；

（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是　　组；

（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．现已知一元二次方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ．

（1）若 $m = 2$ ， $n = - 4$ ，求 $p$ ， $q$ 的值；

（2）若 $p = 3$ ， $q = - 1$ ，求 $m + mn + n$ 的值．