（本题8分）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8-优题课

（本题8分）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K

①求的值
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值
（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质相似多边形的性质二次函数在给定区间上的最值

如图，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴于点 $B$ ， $∠ ABO$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）求直线 $CE$ 的解析式；

（2）在线段 $AB$ 上有一动点 $P$ （不与点 $A$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ x$ 轴， $PN ⊥ y$ 轴，垂足为点 $M$ 、 $N$ ，是否存在点 $P$ ，使线段 $MN$ 的长最小？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第 $x$ 天 $(1 ⩽ x ⩽ 30$ 且 $x$ 为整数）的销量为 $y$ 件．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第 $x$ 天的利润为 $W$ 元，试求出 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

如图， $ΔACE$ ， $ΔACD$ 均为直角三角形， $∠ ACE = 90 °$ ， $∠ ADC = 90 °$ ， $AE$ 与 $CD$ 相交于点 $P$ ，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $E$ ，并与 $AC$ ， $AE$ 分别交于点 $B$ 和点 $F$ ．

（1）求证： $∠ ADF = ∠ EAC$ ．

（2）若 $PC = \frac{2}{3} PA$ ， $PF = 1$ ，求 $AF$ 的长．

如图，建筑物 $C$ 在观测点 $A$ 的北偏东 $65 °$ 方向上，从观测点 $A$ 出发向南偏东 $40 °$ 方向走了 $130 m$ 到达观测点 $B$ ，此时测得建筑物 $C$ 在观测点 $B$ 的北偏东 $20 °$ 方向上，求观测点 $B$ 与建筑物 $C$ 之间的距离．（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生 $(3$ 名男生，2名女生）获奖．

（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为　　．

（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．

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