如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．已知∠ABD＝-优题课

某校九年级（1）班 $50$ 名学生参加 $1 min$ 跳绳体育考试. $1 min$ 跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（ $60 ~ 70$ 表示为大于等于 $60$ 并且小于 $70$ ）和扇形统计图，（如图）.

（1）求 $m, n$ 的值；

（2）求该班 $1 min$ 跳绳成绩在 $80$ 分以上（含 $80$ 分）的人数占全班人数的百分比；

（3）根据频数分布表估计该班学生 $1 min$ 跳绳的平均分大约是多少?并说明理由.

为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树的价格之比为 $2 : 2 : 3$ ，丙种树每棵 $300$ 元，现计划用 $210000$ 元资金，购买这三种树共 $1000$ 棵.

（1）求甲、乙两种树每棵各多少元?

（2）若购买甲种树的棵数是乙种树的 $2$ 倍，恰好用完计划资金，则这三种树各能购买多少棵?

（3）若又增加了 $10120$ 元的购树款，在购买总棵数不变的前提下，求丙种树最多可购买多少棵?

探究：（1）如图①若 $AB / / CD$ .则 $∠ B + ∠ D = ∠ E$ .你能说明为什么吗?

（2）反之，若 $∠ B + ∠ D = ∠ E$ ，直线 $AB$ 和 $CD$ 有什么位置关系，请证明；

（3）若将点 $E$ 移至图②所示位置，此时 $∠ B, ∠ D, ∠ E$ 之间有什么关系?请证明；

（4）若将点 $E$ 移至图③所示位置，情况又如何?

（5）在图④中， $AB / / CD, ∠ E + ∠ G$ 与 $∠ B + ∠ F + ∠ D$ 又有何关系?

（6）在图⑤中，若 $AB / / CD$ ，又得到什么结论?

若实数 $a, b, c$ 满足关系式 $\sqrt{a - 199 + b} \cdot \sqrt{199 - a - b} = \sqrt{3 a + 5 b - 2 - c} + \sqrt{2 b + 3 b - c}$ ，试确定 $c$ 的值.

如图，将 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 这 $10$ 个数字分别填入图中的 $10$ 个圆圈内，使任意连续相邻的 $5$ 个圆圈内的数字之和均不大于某一个整数 $M$ ，求 $M$ 的最小值并完成相应的填图游戏.