数学实践活动课上，老师想让同学们设计测量一棵高不可攀的古树A-优题课

数学实践活动课上，老师想让同学们设计测量一棵高不可攀的古树AB的高度的方案，现有的测量工具：①皮尺；②标杆；③平面镜；④带有刻度的直尺．请你按以下要求设计一个测量方案．
(1)选择其中的一种或两种测量工具；
(2)画出测量示意图；
(3)写出测量步骤；(测量数据用字母表示)
(4)计算树AB的高度．(写出求解或推理过程，结果用字母表示)

科目数学题型解答题难度中等

某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费 $y$ （元 $)$ 与每月用水量 $x (m^{3})$ 之间的关系如图所示．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）若某用户二、三月份共用水 $40 m^{3}$ （二月份用水量不超过 $25 m^{3})$ ，缴纳水费 79.8 元，则该用户二、三月份的用水量各是多少 $m^{3}$ ？

如图， $∠ BAC$ 的平分线交 $ΔABC$ 的外接圆于点 $D$ ， $∠ ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $DE = DB$ ；

（2）若 $∠ BAC = 90 °$ ， $BD = 4$ ，求 $ΔABC$ 外接圆的半径．

如图，两座建筑物的水平距离 $BC = 30 m$ ，从 $A$ 点测得 $D$ 点的俯角 $α$ 为 $30 °$ ，测得 $C$ 点的俯角 $β$ 为 $60 °$ ，求这两座建筑物的高度．

为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 $x$ 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目	人数（名 $)$	百分比
最强大脑	5	$10 %$
朗读者	15	$b %$
中国诗词大会	$a$	$40 %$
出彩中国人	10	$20 %$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） $x =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (6, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$ 移动到抛物线的什么位置时，使得 $∠ PAB = 75 °$ ，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）当点 $P$ 从 $A$ 点出发沿线段 $AB$ 上方的抛物线向终点 $B$ 移动，在移动中，点 $P$ 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$ 以每秒1个单位长度的速度沿 $AO$ 向终点 $O$ 移动，点 $P$ ， $M$ 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$ 秒时，求四边形 $PAMB$ 的面积 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式，并求 $t$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值是多少？