如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE-优题课

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $AO$ ，我们称 $AO$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $AO$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $PO$ ，我们称 $∠ OAB$ 为"叠弦角"， $ΔAOP$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $(ΔAOP)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $∠ OAB = ∠ OAE'$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为　，　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为　　（用含 $n$ 的式子表示）

如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图， $OA$ 是支撑臂， $OB$ 是旋转臂，使用时，以点 $A$ 为支撑点，铅笔芯端点 $B$ 可绕点 $A$ 旋转作出圆．已知 $OA = OB = 10 cm$ ．

（1）当 $∠ AOB = 18 °$ 时，求所作圆的半径；（结果精确到 $0.01 cm)$

（2）保持 $∠ AOB = 18 °$ 不变，在旋转臂 $OB$ 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 $0.01 cm)$

（参考数据： $\sin 9 ° \approx 0.1564$ ， $\cos 9 ° \approx 0.9877$ ， $\sin 18 ° \approx 0.3090$ ， $\cos 18 ° \approx 0.9511$ ，可使用科学计算器）

甲、乙两人利用扑克牌玩"10点"游戏，游戏规则如下：

①将牌面数字作为"点数"，如红桃6的"点数"就是6（牌面点数与牌的花色无关）；

②两人摸牌结束时，将所摸牌的"点数"相加，若"点数"之和小于或等于10，此时"点数"之和就是"最终点数"；若"点数"之和大于10，则"最终点数"是0；

③游戏结束前双方均不知道对方"点数"；

④判定游戏结果的依据是："最终点数"大的一方获胜，"最终点数"相等时不分胜负．

现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7．

（1）若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为　　；

（2）若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的"最终点数"，并求乙获胜的概率．

如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长 $50 cm$ ，第2节套管长 $46 cm$ ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少 $4 cm$ ．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 $xcm$ ．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 $311 cm$ ，求 $x$ 的值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是弦 $AC$ 上一动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，射线 $EP$ 交 $\hat{AC}$ 于点 $F$ ，交过点 $C$ 的切线于点 $D$ ．

（1）求证： $DC = DP$ ；

（2）若 $∠ CAB = 30 °$ ，当 $F$ 是 $\hat{AC}$ 的中点时，判断以 $A$ ， $O$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．