阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形-优题课

阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC，
∵E、F是AB、CD的中点，∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°．
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=，OC=5，求MN的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

如图，已知直线 $y = - 2 x + 4$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线过 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $AB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交抛物线于点 $D$ ．

（1）若抛物线的解析式为 $y = - 2 x^{2} + 2 x + 4$ ，设其顶点为 $M$ ，其对称轴交 $AB$ 于点 $N$ ．

①求点 $M$ 、 $N$ 的坐标；

②是否存在点 $P$ ，使四边形 $MNPD$ 为菱形？并说明理由；

（2）当点 $P$ 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以 $B$ 、 $P$ 、 $D$ 为顶点的三角形与 $ΔAOB$ 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

一名在校大学生利用“互联网 $+$ ”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元 $/$ 件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元 $/$ 件，市场调查发现，该产品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售价 $x$ （元 $/$ 件）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）求每天的销售利润 $W$ （元 $)$ 与销售价 $x$ （元 $/$ 件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 为直径， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 分别交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 4$ ， $CE = 2$ ，求 $\hat{BD}$ 的长度．（结果保留 $π)$

一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 $C$ 出发，沿北偏东 $30 °$ 的方向行走2000米到达石鼓书院 $A$ 处，参观后又从 $A$ 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 $45 °$ 方向的雁峰公园 $B$ 处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米 $/$ 分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．

请根据图中信息完成下列各题．

（1）将频数分布直方图补充完整人数；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．