（本小题满分9分）在锐角△ABC中，AB4，BC5，∠ACB-优题课

（本小题满分9分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：对称式和轮换对称式

先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b})$ $\div \frac{b}{a^{2} - 2 ab + b^{2}}$ ，其中 $a ＝（ \frac{1}{3} ）^{﹣ 1}$ ， $b ＝（ ﹣ 2022 ）^{0}$ ．

已知方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 3 ① \\ x - y = 1 ② \end{matrix}$ 的解满足 $2 k x ﹣ 3 y ＜ 5$ ，求 $k$ 的取值范围．

抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）， $C$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ．

（1）直接写出 $A ， B$ 两点的坐标；

（2）如图（1），当 $O P ＝ O A$ 时，在抛物线上存在点 $D$ （异于点 $B$ ），使 $B ， D$ 两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$ 的横坐标；

（3）如图（2），直线 $B P$ 交抛物线于另一点 $E$ ，连接 $C E$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $C$ 的横坐标为 $m$ ．求 $\frac{FP}{OP}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

【问题提出】

如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{AF}{AB}$ 的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $∠ B A C ＝ 60 °$ 时，直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{CG}{BC} = \frac{1}{n} （ n ＜ 2 ）$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）．

在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 $A$ 处开始减速，此时白球在黑球前面 $70 c m$ 处．

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、运动距离 $y$ （单位： $c m$ ）随运动时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据，整理得下表．

运动时间t/s	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
运动速度v/cm/s	$10$	$9.5$	9	$8.5$	$8$
运动距离y/cm	$0$	$9.75$	19	$27.75$	$36$

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间成一次函数关系，运动距离 $y$ 与运动时间 $t$ 之间成二次函数关系．

（1）直接写出 $v$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为 $64 c m$ 时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以 $2 c m / s$ 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．