如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点-优题课

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质

在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是　　；

（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2$ ， $AD = 4$ ． $E$ ， $F$ 分别在 $AD$ ， $BC$ 上，点 $A$ 与点 $C$ 关于 $EF$ 所在的直线对称， $P$ 是边 $DC$ 上的一动点．

（1）连接 $AF$ ， $CE$ ，求证四边形 $AFCE$ 是菱形；

（2）当 $ΔPEF$ 的周长最小时，求 $\frac{DP}{CP}$ 的值；

（3）连接 $BP$ 交 $EF$ 于点 $M$ ，当 $∠ EMP = 45 °$ 时，求 $CP$ 的长．

8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．

	平均分	方差	中位数	众数	合格率	优秀率
一班	7.2	2.11	7	6	$92.5 %$	$20 %$
二班	6.85	4.28	8	8	$85 %$	$10 %$

根据图表信息，回答问题：

（1）用方差推断，　　班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，　　班的阅读水平更好些；

（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？

某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 $x$ （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 $y$ （万元）．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要 $A$ 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要 $A$ 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的 $A$ 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ．将 $ΔABC$ 沿着 $BC$ 方向平移得到 $ΔDEF$ ，其中点 $E$ 在边 $BC$ 上， $DE$ 与 $AC$ 相交于点 $O$ ．

（1）求证： $ΔOEC$ 为等腰三角形；

（2）连接 $AE$ 、 $DC$ 、 $AD$ ，当点 $E$ 在什么位置时，四边形 $AECD$ 为矩形，并说明理由．