计算（每小题6分，共24分）（1）（－－）×（

如图，已知 $BF$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 为 $⊙ O$ 上（异于 $B$ 、 $F)$ 一点， $⊙ O$ 的切线 $MA$ 与 $FB$ 的延长线交于点 $M$ ； $P$ 为 $AM$ 上一点， $PB$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点且 $PA = PD$ ， $AD$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\hat{BE} = \hat{CE}$ ；

（2）若 $ED$ 、 $EA$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ 的两根，求 $BE$ 的长；

（3）若 $MA = 6 \sqrt{2}$ ， $\sin ∠ AMF = \frac{1}{3}$ ，求 $AB$ 的长．

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$ 处出发，向前走3米到达 $A$ 处，测得树顶端 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，他又继续走下台阶到达 $C$ 处，测得树的顶端 $E$ 的仰角是 $60 °$ ，再继续向前走到大树底 $D$ 处，测得食堂楼顶 $N$ 的仰角为 $45 °$ ．已知点离地面的高度 $AB = 2$ 米， $∠ BCA = 30 °$ ，且 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点在同一直线上．

（1）求树 $DE$ 的高度；

（2）求食堂 $MN$ 的高度．

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，存不存在这样的实数 $k$ ，使得 $| x_{1} | - | x_{2} | = \sqrt{5}$ ？若存在，求出这样的 $k$ 值；若不存在，说明理由．

先化简，再求值： $(x - 1 + \frac{3 - 3 x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从不等式组 $\{\begin{matrix} 2 - x ⩽ 3 \\ 2 x - 4 < 1 \end{matrix}$ 的整数解中选取．

学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道 $AB$ 上，机器人甲从端点 $A$ 出发，匀速往返于端点 $A$ 、 $B$ 之间，机器人乙同时从端点 $B$ 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $B$ 、 $A$ 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为　　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为　　个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度．兴趣小组成员发现了 $y$ 与 $x$ 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $OP$ ，不包括点 $O$ ，如图2所示）．

① $a =$ 　　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $y$ 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $x$ 的取值范围是　　．（直接写出结果）