先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．-优题课

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt[3]{- 8} + | \sqrt{3} - 2 | + 2 \sin 60 °$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

（2）点 $P$ 从 $A$ 点出发，在线段 $AB$ 上以每秒2个单位长度的速度向 $B$ 点运动，同时，点 $Q$ 从 $B$ 点出发，在线段 $BC$ 上以每秒1个单位长度的速度向 $C$ 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，求运动时间 $t$ 为多少秒时， $ΔPBQ$ 的面积 $S$ 最大，并求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当 $ΔPBQ$ 面积最大时，在 $BC$ 下方的抛物线上是否存在点 $M$ ，使 $ΔBMC$ 的面积是 $ΔPBQ$ 面积的1.6倍？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆 $AB$ 的高度，站在教学楼的 $C$ 处测得旗杆底端 $B$ 的俯角为 $45 °$ ，测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ．已知旗杆与教学楼的距离 $BD = 9 m$ ，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．

已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = kx + m$ 的图象交于点 $(2, 1)$ ．

（1）分别求出这两个函数的解析式；

（2）判断 $P (- 1, - 5)$ 是否在一次函数 $y = kx + m$ 的图象上，并说明原因．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} + 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x$ 是方程 $x^{2} + 3 x = 0$ 的根．