切实减轻学生课业负担是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了-优题课

“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级．A：1小时以内，B：1小时-1．5小时，C：1．5小时-2小时，D：小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）该校共调查了_________名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）表示等级A的扇形圆心角的度数是____________；
（4）在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是2小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈，用列表或树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）写出一个满足条件的 $m$ 的值，并求此时方程的根．

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $AE$ 平分 $∠ BAD$ ，交 $DC$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $DA = DE$ ．

设抛物线的解析式为 $y = a x^{2}$ ，过点 $B_{1} (1, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{1} (1, 2)$ ；过点 $B_{2} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{2}$ ； $\dots$ ；过点 $B_{n} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ ， $0) (n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{n}$ ，连接 $A_{n} B_{n + 1}$ ，得 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_{n} B_{n}$ ， $B_{n} B_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1 ⩽ k < m ⩽ n (k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $Rt$ △ $A_{k} B_{k} B_{k + 1}$ 与 $Rt$ △ $A_{m} B_{m} B_{m + 1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $AO$ ，我们称 $AO$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $AO$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $PO$ ，我们称 $∠ OAB$ 为"叠弦角"， $ΔAOP$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $(ΔAOP)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $∠ OAB = ∠ OAE'$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为　，　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为　　（用含 $n$ 的式子表示）

如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图， $OA$ 是支撑臂， $OB$ 是旋转臂，使用时，以点 $A$ 为支撑点，铅笔芯端点 $B$ 可绕点 $A$ 旋转作出圆．已知 $OA = OB = 10 cm$ ．

（1）当 $∠ AOB = 18 °$ 时，求所作圆的半径；（结果精确到 $0.01 cm)$

（2）保持 $∠ AOB = 18 °$ 不变，在旋转臂 $OB$ 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 $0.01 cm)$

（参考数据： $\sin 9 ° \approx 0.1564$ ， $\cos 9 ° \approx 0.9877$ ， $\sin 18 ° \approx 0.3090$ ， $\cos 18 ° \approx 0.9511$ ，可使用科学计算器）