(本小题满分14分)北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品.一天中,生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示:
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用煤(吨) |
用水(吨) |
产值(万元) |
生产一吨甲种产品 |
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生产一吨乙种产品 |
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在会议期间,为了减少空气污染和废水排放.北京市对该厂每天用煤和用水有所限制,每天用煤最多
吨,用水最多
吨.问该厂如何安排生产,才能是日产值最大?最大的产值是多少?
(本小题满分13分)已知为常数
,在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若任意实数,使得对任意的
上恒有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)求证:对任意正整数,有
.
(本小题满分13分)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率
虚轴长为2.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)若直线与双曲线
相交于
,
两点(
均异于左、右顶点),且以
为直径的圆过双曲线
的左顶点
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
(本小题满分13分)已知无穷数列的各项均为正整数,
为数列
的前
项和.
(Ⅰ)若数列是等差数列,且对任意正整数
都有
成立,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)对任意正整数,从集合
中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与
一起恰好是1至
全体正整数组成的集合.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求数列的通项公式.
(本小题满分12分)节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度(单位:)随时间
(单位:小时)的变化近似满足函数关系:
,
且早上8时的温度为,
.
(Ⅰ)求函数的解析式,并判断这一天的最高温度是多少?出现在何时?
(Ⅱ)某通宵营业的超市,为节约能源和开支,在环境温度超过时,才开启中央空调降温,否则关闭中央空调,问中央空调应在何时开启?何时关闭?
(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面
是正方形,
底面
,
, 点
是
的中点,
,且交
于点
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.