一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均-优题课

一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表或画树状的方法求两次摸出的球都是白球的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点 $A$ 处安置测倾器，量出高度 $AB = 1.5 m$ ，测得旗杆顶端 $D$ 的仰角 $∠ DBE = 32 °$ ，量出测点 $A$ 到旗杆底部 $C$ 的水平距离 $AC = 20 m$ ，根据测量数据，求旗杆 $CD$ 的高度．（参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.53$ ， $\cos 32 ° \approx 0.85$ ， $\tan 32 ° \approx 0.62)$

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = m x^{2} + 4 mx - 5 m (m < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 相交于点 $E$ ，与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，点 $P$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上（不与原点重合），连接 $PD$ ，过点 $P$ 作 $PF ⊥ PD$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $DF$ ．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6 \sqrt{3}$ ，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$ 的位置发现：当点 $P$ 与点 $E$ 重合时， $∠ PDF$ 的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上任意一点 $P$ （不与原点重合）， $∠ PDF$ 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从 $A$ 地到 $B$ 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的 $C$ 处有一大型油库，现测得油库 $C$ 在 $A$ 地的北偏东 $60 °$ 方向上，在 $B$ 地的西北方向上， $AB$ 的距离为 $250 (\sqrt{3} + 1)$ 米．已知在以油库 $C$ 为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库 $C$ 是否会受到影响？请说明理由．

已知，如图，一次函数 $y = kx + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n$ 为常数且 $n \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ． $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 2 OA = 3 OD = 6$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标；

（3）直接写出不等式： $kx + b ⩽ \frac{n}{x}$ 的解集．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以点 $O$ 为圆心的圆分别交 $x$ 轴的正半轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴的正半轴于点 $N$ ．劣弧 $\hat{MN}$ 的长为 $\frac{6}{5} π$ ，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用 $π$ 表示）

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