解方程组（1）（2）-优题课

小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在 $A$ 处看到 $B$ 、 $C$ 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在 $A$ 处测得 $B$ 在北偏西 $45 °$ 方向， $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向，他从 $A$ 处走了20米到达 $B$ 处，又在 $B$ 处测得 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向．

（1）求 $∠ C$ 的度数；

（2）求两颗银杏树 $B$ 、 $C$ 之间的距离（结果保留根号）．

某服装店以每件30元的价格购进一批 $T$ 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设 $T$ 恤的销售单价提高 $x$ 元．

（1）服装店希望一个月内销售该种 $T$ 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问 $T$ 恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种 $T$ 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

已知平面直角坐标系中，点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 和直线 $Ax + By + C = 0$ （其中 $A$ ， $B$ 不全为 $0)$ ，则点 $P$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离 $d$ 可用公式 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算．

例如：求点 $P (1, 2)$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2$ ， $B = - 1$ ， $C = 1$ ，所以点 $P (1, 2)$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + (- 1) \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $M (0, 3)$ 到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

（2）在（1）的条件下， $⊙ M$ 的半径 $r = 4$ ，判断 $⊙ M$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$ ，求 $n$ 的值；若不相交，说明理由．

我市于2021年5月 $22 - 23$ 日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

类别	频数	频率
不了解	10	$m$
了解很少	16	0.32
基本了解	$b$
很了解	4	$n$
合计	$a$	1

（1）根据以上信息可知： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有　　人；

（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．

如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线 $EF$ 与 $BA$ 、 $DC$ 的延长线分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）请再添加一个条件，使四边形 $BFDE$ 是菱形，并说明理由．