解方程：．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = 2 x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交点 $C$ ，抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线 $AC$ 上方的抛物线上有一动点 $E$ ，连接 $BE$ ，与直线 $AC$ 相交于点 $F$ ，当 $EF = \frac{1}{2} BF$ 时，求 $\sin ∠ EBA$ 的值．

（3）点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 $E$ 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点 $M$ ，使以 $M$ ， $N$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，连接 $AC$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ 得 $ΔAEF$ ，连接 $CF$ ， $O$ 为 $CF$ 的中点，连接 $OE$ ， $OD$ ．

（1）如图1，当 $α = 45 °$ 时，请直接写出 $OE$ 与 $OD$ 的关系（不用证明）．

（2）如图2，当 $45 ° < α < 90 °$ 时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当 $α = 360 °$ 时，若 $AB = 4 \sqrt{2}$ ，请直接写出点 $O$ 经过的路径长．

网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量 $y (kg)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 满足如图所示的函数关系（其中 $10 < x ⩽ 30)$ ．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价 $x$ 应定为多少元？

（3）设每天销售该特产的利润为 $W$ 元，若 $14 < x ⩽ 30$ ，求：销售单价 $x$ 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，以 $AD$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，连接 $DB$ 交 $⊙ O$ 于点 $H$ ， $E$ 是 $BC$ 上的一点，且 $BE = BF$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BF = 2$ ， $DH = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚 $P$ 处测得古塔顶端 $M$ 的仰角为 $60 °$ ，沿山坡向上走 $25 m$ 到达 $D$ 处，测得古塔顶端 $M$ 的仰角为 $30 °$ ．已知山坡坡度 $i = 3 : 4$ ，即 $\tan θ = \frac{3}{4}$ ，请你帮助小明计算古塔的高度 $ME$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732)$