计算下列各式：（1）（2）．-优题课

在边长为2的等边三角形 $ABC$ 中， $P$ 是 $BC$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ AB$ ， $PN ⊥ AC$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $BC$ 边的何处时都有 $PM + PN$ 的长恰好等于三角形 $ABC$ 一边上的高；

（2）当 $BP$ 的长为何值时，四边形 $AMPN$ 的面积最大，并求出最大值．

为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：

用户每月用水量 $(m^{3})$	32及其以下	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43及其以上
户数（户）	200	160	180	220	240	210	190	100	170	120	100	110

（1）为确保 $70 %$ 的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？

（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设 $x$ 表示每户每月用水量（单位： $m^{3}$ ）， $y$ 表示每户每月应交水费（单位：元），求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？

直线 $y = kx + b$ 与反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象分别交于点 $A (m, 3)$ 和点 $B (6, n)$ ，与坐标轴分别交于点 $C$ 和点 $D$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式；

（2）若点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $ΔCOD$ 与 $ΔADP$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

某商店分两次购进 $A$ 、 $B$ 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定 $A$ 种商品以每件30元出售， $B$ 种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进 $A$ 、 $B$ 两种商品共1000件，且 $A$ 种商品的数量不少于 $B$ 种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：

（1）补全下面两个统计图（不写过程）；

（2）求该班学生比赛的平均成绩；

（3）现准备从等级 $A$ 的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？