已知某铁路桥长500m，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始-优题课

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (x + 1) ⩽ 2 \\ \frac{x + 2}{2} ⩾ \frac{x + 3}{3} \end{matrix}$ ，并求出不等式组的整数解之和．

先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 1}{x^{3}} \div \frac{x + 1}{x}$ ．其中 $x = \sin 60 °$ ．

计算： ${(\sqrt{2})}^{- 2} + {(π^{2} - π)}^{0} + \cos 60 ° + | \sqrt{2} - 2 |$

如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，菱形 $OABC$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $B$ ， $C$ 在第一象限， $∠ C = 120 °$ ，边长 $OA = 8$ ．点 $M$ 从原点 $O$ 出发沿 $x$ 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点 $N$ 从 $A$ 出发沿边 $AB - BC - CO$ 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点 $M$ 作直线 $MP$ 垂直于 $x$ 轴并交折线 $OCB$ 于 $P$ ，交对角线 $OB$ 于 $Q$ ，点 $M$ 和点 $N$ 同时出发，分别沿各自路线运动，点 $N$ 运动到原点 $O$ 时， $M$ 和 $N$ 两点同时停止运动．

（1）当 $t = 2$ 时，求线段 $PQ$ 的长；

（2）求 $t$ 为何值时，点 $P$ 与 $N$ 重合；

（3）设 $ΔAPN$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式及 $t$ 的取值范围．

我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 $y$ （万件）与月份 $x$ （月）的关系为： $y = \{\begin{matrix} x + 4 (1 ⩽ x ⩽ 8, x 为整数) \\ - x + 20 (9 ⩽ x ⩽ 12, x 为整数) \end{matrix}$ ，每件产品的利润 $z$ （元）与月份 $x$ （月）的关系如下表：

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$z$	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	10	10

（1）请你根据表格求出每件产品利润 $z$ （元）与月份 $x$ （月）的关系式；

（2）若月利润 $w$ （万元） $=$ 当月销售量 $y$ （万件） $\times$ 当月每件产品的利润 $z$ （元），求月利润 $w$ （万元）与月份 $x$ （月）的关系式；

（3）当 $x$ 为何值时，月利润 $w$ 有最大值，最大值为多少？