小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题-优题课

小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF．（S表示面积）

问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）
拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（，）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：计算器—基础知识

小明在研究矩形面积 $S$ 与矩形的边长 $x$ ， $y$ 之间的关系时，得到下表数据：

$x$	0.5	1	1.5	2	3	4	6	12
$y$	12	6	4	3	2		1	0.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了

（1）被墨水涂黑的数据为　　．

（2） $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为　　，且 $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（3）如图是小明画出的 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，点 $B$ 、 $E$ 均在该函数的图象上，其中矩形 $OABC$ 的面积记为 $S_{1}$ ，矩形 $ODEF$ 的面积记为 $S_{2}$ ，请判断 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的大小关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下， $DE$ 交 $BC$ 于点 $G$ ，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象经过点 $G$ 交 $AB$ 于点 $H$ ，连接 $OG$ 、 $OH$ ，则四边形 $OGBH$ 的面积为　　．

2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的 $001 A$ 型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长 $BD$ 约 $306 m$ ，航母前端点 $E$ 到水平甲板 $BD$ 的距离 $DE$ 为 $6 m$ ，舰岛顶端 $A$ 到 $BD$ 的距离是 $AC$ ，经测量， $∠ BAC = 71.6 °$ ， $∠ EAC = 80.6 °$ ，请计算舰岛 $AC$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sin 71.6 ° \approx 0.95$ ， $\cos 71.6 ° \approx 0.32$ ， $\tan 71.6 ° \approx 3.01$ ， $\sin 80.6 ° \approx 0.99$ ， $\cos 80.6 ° \approx 0.16$ ， $\tan 80.6 ° \approx 6.04)$

某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下

选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：

七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59

99 87 85 89 97 86 89 90 89 77

八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94

62 99 94 51 88 97 94 98 85 91

分组整理，描述数据

（1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；

解析数据，计算填空

（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；

年级	平均数	中位数	众数	优秀率
七年级	85.3	88	89	$20 %$
八年级	85.4

得出结论，说明理由．

（3）估计八年级成绩优秀的学生人数约为　　人．

（4）整体成绩较好的年级为　　，理由为　　（至少从两个不同的角度说明合理性）．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $O$ 在 $BC$ 上，以线段 $OC$ 的长为半径的 $⊙ O$ 与 $AB$ 相切于点 $D$ ，分别交 $BC$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $ED$ 并延长，交 $CA$ 的延长线于点 $G$ ．

（1）求证： $∠ DOC = 2 ∠ G$ ．

（2）已知 $⊙ O$ 的半径为3．

①若 $BE = 2$ ，则 $DA =$ 　　．

②当 $BE =$ 　　时，四边形 $DOCF$ 为菱形．

如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $B$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2） $M (m, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $AB$ 及抛物线分别交于点 $P$ ， $N$ ．

①点 $M$ 在线段 $OA$ 上运动，若以 $B$ ， $P$ ， $N$ 为顶点的三角形与 $ΔAPM$ 相似，求点 $M$ 的坐标；

②点 $M$ 在 $x$ 轴上自由运动，若三个点 $M$ ， $P$ ， $N$ 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 $M$ ， $P$ ， $N$ 三点为“共谐点”．请直接写出使得 $M$ ， $P$ ， $N$ 三点成为“共谐点”的 $m$ 的值．