已知向量，，若存在实数，使得，则实数为．-优题课

如图，在 $∆ A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D ⊥ A C, \sin ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B = 3 \sqrt{2}, A D = 3$ ,则 $B D$ 的长为.

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

利用计算机产生0～1之间的均匀随机数 $a$ ，则事件 $` 3 a - 1 < 0 `$ 的概率为.

如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

①当 $0 < C Q < \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为四边形
②当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形
③当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R = \frac{1}{3}$

④当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为六边形
⑤当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) 2 f (x)$ .若当 $0 \leq x \leq 1$ 时。 $f (x) = x (1 - x)$ ，则当 $- 1 \leq x \leq 0$ 时， $f (x)$ =.