在某小区的A处有一个凉亭，道路AB、BC、AC两两相交于点A-优题课

在某小区的A处有一个凉亭，道路AB、BC、AC两两相交于点A、B、C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示．已知A与B之间的距离为20cm，若有两个小朋友在与点B相距10cm的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线D→B→A，D→C→A到凉亭A处喝水休息，已知路线D→B→A与D→C→A路程相等，求AC的长度．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °, AB = AC, E, F$ 分别是 $BC$ 上两点，若 $∠ EAF = 45 °$ ，试判断 $BE, CF, EF$ 之间的数量关系，并说明理由.

如图，点 $P$ 是等边三角形 $ABC$ 内的一点，连接 $PA, PB, PC$ ，以 $BP$ 为边作 $∠ PBQ = 60^{\circ}$ ，且 $BQ = BP$ ，连接 $CQ$ .

（1）观察并猜想 $AP$ 与 $CQ$ 之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若 $PA : PB : PC = 3 : 4 : 5$ ，连接 $PQ$ ，试判断 $△ PQC$ 的形状，并说明理由.

已知 $△ ABC$ 为等腰直角三角形， $AB = AC, D$ 为斜边 $BC$ 的中点， $E, F$ 分别是 $AB, AC$ 边上的点，且 $DE ⊥ DF$ .若 $BE = 12, CF = 5$ .求 $△ DEF$ 的面积.

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 30 °, ∠ ADC = 60 °, AD = DC$ .证明: $B D^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, CD ⊥ AB$ 于 $D$ ，设 $AC = b, BC = a$ ， $AB = c, CD = h$ .

求证：（1） $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ ；

（2） $a + b < c + h$ ；

（3）以 $a + b, h, c + h$ 为边的三角形是直角三角形.

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