（本题8分）试一试：请四个同学来做一个传数的游戏．游戏方法：-优题课

（本题8分）试一试：请四个同学来做一个传数的游戏．
游戏方法：请第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去1报出答案．
（1）若一个同学报给第二个同学的数是5，而第四个同学报出的答案是35．其结果对吗？
（2）若第一个同学报给第二个同学的数是x，则第二个同学报给第三个同学的数是_________，第三个同学报给第四个同学的数是__________，第四个同学报出的答案是______________．

科目数学题型计算题难度中等

知识点：幂的乘方与积的乘方

随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 $A$ 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 $10 %$ ，求：

（1） $A$ 型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批 $A$ 型车和新款 $B$ 型车共60辆，且 $B$ 型车的进货数量不超过 $A$ 型车数量的两倍．已知 $A$ 型车和 $B$ 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划 $B$ 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．

组别	分组	频数	频率
1	$50 ⩽ x < 60$	9	0.18
2	$60 ⩽ x < 70$	$a$
3	$70 ⩽ x < 80$	20	0.40
4	$80 ⩽ x < 90$		0.08
5	$90 ⩽ x ⩽ 100$	2	$b$
	合计

请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：

（1）求出 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 、 $y$ 的值；

（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？

（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示，其中小明为 $A$ ，小敏为 $B$ ）

（1）已知 $- \frac{1}{2} x^{2 m - 1} y^{5}$ 与 $x^{n} y^{m + n}$ 是同类项，求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）先化简后求值： $(\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 2}) \div \frac{a}{a^{2} + a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

已知：如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6 cm$ ， $BC = 8 cm$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $PO$ 并延长，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时， $ΔAOP$ 是等腰三角形？

（2）设五边形 $OECQF$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，试确定 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{五边形 OECQF} : S_{ΔACD} = 9 : 16$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OD$ 平分 $∠ COP$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：如何将边长为 $n (n ⩾ 5$ ，且 $n$ 为整数）的正方形分割为一些 $1 x 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形（ $axb$ 的矩形指边长分别为 $a$ ， $b$ 的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n = 5$ 时，可将正方形分割为五个 $1 \times 5$ 的矩形．

如图②，当 $n = 6$ 时，可将正方形分割为六个 $2 \times 3$ 的矩形．

如图③，当 $n = 7$ 时，可将正方形分割为五个 $1 \times 5$ 的矩形和四个 $2 \times 3$ 的矩形

如图④，当 $n = 8$ 时，可将正方形分割为八个 $1 \times 5$ 的矩形和四个 $2 \times 3$ 的矩形

如图⑤，当 $n = 9$ 时，可将正方形分割为九个 $1 \times 5$ 的矩形和六个 $2 \times 3$ 的矩形

探究二：

当 $n = 10$ ，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n = 10$ ，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5 \times 5$ 的正方形、一个 $(n - 5) \times (n - 5)$ 的正方形和两个 $5 \times (n - 5)$ 的矩形．显然， $5 \times 5$ 的正方形和 $5 \times (n - 5)$ 的矩形均可分割为 $1 \times 5$ 的矩形，而 $(n - 5) \times (n - 5)$ 的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形．

探究三：

当 $n = 15$ ，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n = 15$ ，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10 \times 10$ 的正方形、一个 $(n - 10) \times (n - 10)$ 的正方形和两个 $10 \times (n - 10)$ 的矩形．显然， $10 \times 10$ 的正方形和 $10 \times (n - 10)$ 的矩形均可分割为 $1 x 5$ 的矩形，而 $(n - 10) \times (n - 10)$ 的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n (n ⩾ 5$ ，且 $n$ 为整数）的正方形分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）