先化简，再求值：（a−）（a）a（a−6），其中a＝．-优题课

如图1和图2，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $BC = 8$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ．点 $K$ 在 $AC$ 边上，点 $M$ ， $N$ 分别在 $AB$ ， $BC$ 上，且 $AM = CN = 2$ ．点 $P$ 从点 $M$ 出发沿折线 $MB - BN$ 匀速移动，到达点 $N$ 时停止；而点 $Q$ 在 $AC$ 边上随 $P$ 移动，且始终保持 $∠ APQ = ∠ B$ ．

（1）当点 $P$ 在 $BC$ 上时，求点 $P$ 与点 $A$ 的最短距离；

（2）若点 $P$ 在 $MB$ 上，且 $PQ$ 将 $ΔABC$ 的面积分成上下 $4 : 5$ 两部分时，求 $MP$ 的长；

（3）设点 $P$ 移动的路程为 $x$ ，当 $0 ⩽ x ⩽ 3$ 及 $3 ⩽ x ⩽ 9$ 时，分别求点 $P$ 到直线 $AC$ 的距离（用含 $x$ 的式子表示）；

（4）在点 $P$ 处设计并安装一扫描器，按定角 $∠ APQ$ 扫描 $ΔAPQ$ 区域（含边界），扫描器随点 $P$ 从 $M$ 到 $B$ 再到 $N$ 共用时36秒．若 $AK = \frac{9}{4}$ ，请直接写出点 $K$ 被扫描到的总时长．

如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴 $- 3$ 和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 $P$ ；

（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对 $n$ 次，且他最终停留的位置对应的数为 $m$ ，试用含 $n$ 的代数式表示 $m$ ，并求该位置距离原点 $O$ 最近时 $n$ 的值；

（3）从如图的位置开始，若进行了 $k$ 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出 $k$ 的值．

表格中的两组对应值满足一次函数 $y = kx + b$ ，现画出了它的图象为直线 $l$ ，如图．而某同学为观察 $k$ ， $b$ 对图象的影响，将上面函数中的 $k$ 与 $b$ 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 $l^{'}$ ．

$x$	$- 1$	0
$y$	$- 2$	1

（1）求直线 $l$ 的解析式；

（2）请在图上画出直线 $l^{'}$ （不要求列表计算），并求直线 $l^{'}$ 被直线 $l$ 和 $y$ 轴所截线段的长；

（3）设直线 $y = a$ 与直线 $l$ ， $l'$ 及 $y$ 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 $a$ 的值．

用承重指数 $W$ 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 $W$ 与木板厚度 $x$ （厘米）的平方成正比，当 $x = 3$ 时， $W = 3$ ．

（1）求 $W$ 与 $x$ 的函数关系式．

（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为 $x$ （厘米）， $Q = W_{厚} - W_{薄}$ ．

①求 $Q$ 与 $x$ 的函数关系式；

② $x$ 为何值时， $Q$ 是 $W_{薄}$ 的3倍？ $[$ 注：（1）及（2）中的①不必写 $x$ 的取值范围 $]$

如图，点 $O$ 为 $AB$ 中点，分别延长 $OA$ 到点 $C$ ， $OB$ 到点 $D$ ，使 $OC = OD$ ．以点 $O$ 为圆心，分别以 $OA$ ， $OC$ 为半径在 $CD$ 上方作两个半圆．点 $P$ 为小半圆上任一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $OP$ 并延长交大半圆于点 $E$ ，连接 $AE$ ， $CP$ ．

（1）①求证： $ΔAOE ≅ ΔPOC$ ；

②写出 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 和 $∠ C$ 三者间的数量关系，并说明理由．

（2）若 $OC = 2 OA = 2$ ，当 $∠ C$ 最大时，直接指出 $CP$ 与小半圆的位置关系，并求此时 $S_{扇形 EOD}$ （答案保留 $π)$ ．