如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使-优题课

化简： $b (a + b) + (a + b) (a - b)$ ．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y = kx + n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $BC$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $PA$ ，交直线 $BC$ 于点 $D$ ．设 $ΔPDC$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔADC$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在等腰直角三角形 $ADC$ 中， $∠ ADC = 90 °$ ， $AD = 4$ ．点 $E$ 是 $AD$ 的中点，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$ ，连接 $AG$ ， $CE$ ．将正方形 $DEFG$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断 $ΔAGD$ 与 $ΔCED$ 是否全等，并说明理由；

②当 $CE = CD$ 时， $AG$ 与 $EF$ 交于点 $H$ ，求 $GH$ 的长．

（2）如图3，延长 $CE$ 交直线 $AG$ 于点 $P$ ．

①求证： $AG ⊥ CP$ ；

②在旋转过程中，线段 $PC$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

为了探索函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．

列表：

$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{17}{4}$	$\frac{26}{5}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

（2）已知点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{2}$ ， $y_{2})$ 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若 $0 < x_{1} < x_{2} ⩽ 1$ ，则 $y_{1}$ 　 $>$ 　 $y_{2}$ ；若 $1 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ 　　 $y_{2}$ ；

若 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ ，则 $y_{1}$ 　　 $y_{2}$ （填" $>$ "，" $=$ "或" $<$ " $)$ ．

（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元 $/$ 平方米，侧面造价为0.5千元 $/$ 平方米．设水池底面一边的长为 $x$ 米，水池总造价为 $y$ 千元．

①请写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长 $x$ 应控制在什么范围内？

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径．直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，在 $l$ 上取一点 $D$ 使得 $DA = DC$ ，线段 $DC$ ， $AB$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 2$ ， $∠ CAB = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．