用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：（-优题课

如图1，已知二次函数 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A (0, 4)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ 、 $C$ ，点 $C$ 坐标为 $(8, 0)$ ，连接 $AB$ 、 $AC$ ．

（1）请直接写出二次函数 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 的表达式；

（2）判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$ 在 $x$ 轴上运动，当以点 $A$ 、 $N$ 、 $C$ 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$ 的坐标；

（4）如图2，若点 $N$ 在线段 $BC$ 上运动（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），过点 $N$ 作 $NM / / AC$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ，当 $ΔAMN$ 面积最大时，求此时点 $N$ 的坐标．

如图，将矩形 $ABCD$ 沿 $AF$ 折叠，使点 $D$ 落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处，过点 $E$ 作 $EG / / CD$ 交 $AF$ 于点 $G$ ，连接 $DG$ ．

（1）求证：四边形 $EFDG$ 是菱形；

（2）探究线段 $EG$ 、 $GF$ 、 $AF$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $AG = 6$ ， $EG = 2 \sqrt{5}$ ，求 $BE$ 的长．

如图，在 $Rt Δ ACB$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3 cm$ ， $BC = 4 cm$ ，以 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ．

（1）求线段 $AD$ 的长度；

（2）点 $E$ 是线段 $AC$ 上的一点，试问：当点 $E$ 在什么位置时，直线 $ED$ 与 $⊙ O$ 相切？请说明理由．

现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

步数	频数	频率
$0 ⩽ x < 4000$	8	$a$
$4000 ⩽ x < 8000$	15	0.3
$8000 ⩽ x < 12000$	12	$b$
$12000 ⩽ x < 16000$	$c$	0.2
$16000 ⩽ x < 20000$	3	0.06
$20000 ⩽ x < 24000$	$d$	0.04

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

如图，一次函数 $y = kx + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n$ 为常数，且 $n \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ． $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 2 OA = 3 OD = 12$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为 $E$ ，求 $ΔCDE$ 的面积；

（3）直接写出不等式 $kx + b ⩽ \frac{n}{x}$ 的解集．