（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD-优题课

（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，

（1）证明：平面平面；
（2）若，, 令AE与平面ABCD所成角为, 且, 求该四棱锥的体积．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：表面展开图

如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A D ∥ B C, A D ⊥ A B, A B = \sqrt{2}, A D = 2, B C = 4, A A_{1} = 2$ , $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点, $F$ 是平面 $B_{1} C_{1} E$ 与直线 $A A_{1}$ 的交点.

(1)证明:

(i) $E F ∥ A_{1} D_{1}$ ；
(ii) $B A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} E F$ ；
(2)求 $B C_{1}$ 与平面 $B_{1} C_{1} E F$ 所成的角的正弦值.

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + n$ ， $n \in N^{+}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4 \log_{2} b_{n} ＋ 3$ ， $n \in N$ .
（1）求 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ；
（2）求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ _.

在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ 。
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $b = 3, \sin C = 2 \sin A$ ，求 $a, c$ 的值

定义：曲线 $C$ 上的点到直线l的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线l的距离，已知曲线 $C_{1} : y = x^{2} + a$ 到直线 $l : y = x$ 的距离等于曲线 $C_{2} : x^{2} + (y + 4)^{2} = 2$ 到直线 $l : y = x$ 的距离，则实数 $a =$

已知函数 $f (x) = x - \ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$

（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（Ⅲ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2, (n \in N^{*})$ .

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