（·辽宁朝阳）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各-优题课

某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位： $t)$ ．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为　　，图①中 $m$ 的值为　　；

（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x + 4 ⩾ 3, ① \\ 6 x ⩽ 5 x + 3 \cdot ② \end{matrix}$ 请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

如图，抛物线 $y = (x + 1) (x - a)$ （其中 $a > 1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $∠ OCA$ 的度数和线段 $AB$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $ΔABC$ 的外心，且 $ΔBCD$ 与 $ΔACO$ 的周长之比为 $\sqrt{10} : 4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y = (x + 1) (x - a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $∠ CAP = ∠ DBA$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $C$ ， $AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ ， $FD$ ．

（1）求证： $∠ DAE = ∠ DAC$ ；

（2）求证： $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $\sin ∠ C = \frac{1}{4}$ ， $AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长．

函数图象是研究函数的重要工具。探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程。请结合已有的学习经验，画出函数 $y = - \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ 的图象，并探究其性质．

列表如下：

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{8}{5}$	$\frac{24}{13}$	$a$	$\frac{8}{5}$	0	$b$	$- 2$	$- \frac{24}{13}$	$- \frac{8}{5}$	$\dots$

（1）写出表中 $a$ 、 $b$ 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数 $y = - \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ 的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 时，函数图象关于直线 $y = x$ 对称；

② $x = 2$ 时，函数有最小值，最小值为 $- 2$ ；

③ $- 1 < x < 1$ 时，函数 $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小．

其中正确的是　　．（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请写出不等式 $\frac{8 x}{x^{2} + 4} > x$ 的解集　　．