（·杭州市第21题10分）综合与实践学习活动准备制作一组三角-优题课

（·杭州市第21题 10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）

科目数学题型解答题难度中等

有 $200$ 名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门招聘，到各部门报名的人数百分比见图表①，该企业各部门的录取率见图表②（ $部门录取率 = \frac{部门录取人数}{部门报名人数} \times 100 %$ ）

（1）到乙部门报名的人数有＿＿＿＿＿人，乙部门的录取人数是＿＿＿＿＿人，该企业的录取率为＿＿＿＿＿；

（2）如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的情况下，该企业的录取率将恰好增加 $15 %$ ，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？

（1）如图①， $△ ABC$ 的面积是 $10$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AE ， △ AEC$ 的面积是＿＿＿＿＿.

（2）如图②，四边形 $ABCD$ 的面积是 $10$ ，点 $E ， F$ 分别是一组对边 $AB ， CD$ 的中点，连接 $AF ， CE$ ，则四边形 $AECF$ 的面积是＿＿＿＿＿.

（3）如图③，点 $E ， F$ 分别是一组对边 $AB ， CD$ 上的点，且 $AE = \frac{1}{3} AB ， CF = \frac{1}{3} CD$ ，若四边形 $ABCD$ 的面积是 $10$ ，连接 $AF ， CE$ ，则四边形 $AECF$ 的面积是＿＿＿＿＿.

（4）如图④， $◻ ABCD$ 的面积是 $2 ， AB = a ， BC = b$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 以每秒 $v$ 个单位长的速度向点 $B$ 运动，点 $F$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 以每秒 $\frac{bv}{a}$ 个单位长的速度向点 $C$ 运动.点 $E ， F$ 分别从点 $A ， B$ 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.请问四边形 $DEBF$ 的面积的值是否随着时间 $t$ 的变化而变化?若不变，请求出这个值；若变化，说明怎样变化的.

问题探究：

（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分；

（2）如图②，点 $M$ 是矩形 $ABCD$ 内一点，请你在图②中过 $M$ 点作一条直线，使它将矩形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分.

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，多边形 $OAB - CDE$ 的顶点坐标分别是 $O （ 0 ， 0 ）， A （ 0 ， 6 ）， B （ 4 ， 6 ）， C （ 4 ， 4 ）， D （ 6 ， 4 ）， E （ 6 ， 0 ）$ .若直线 $l$ 经过点 $M （ 2 ， 3 ）$ ，且将多边形 $OABCDE$ 分割成面积相等的两部分，求直线 $l$ 的函数表达式.

如图，四边形 $EFGH$ 是正方形 $ABCD$ 的内接四边形， $∠ BEG$ 与 $∠ CFH$ 都是锐角，已知 $EG = 3 ， FH = 4$ ，四边形 $EFGH$ 的面积为 $5$ .求正方形 $ABCD$ 的面积.

如图，四边形 $PQMN$ 是 $ ABCD$ 的内接四边形。

（1）若 $MP / / BC$ 或 $NQ / / AB$ ，求证 $S_{四边形 PQMN} = \frac{1}{2} S_{◻ABCD}$ ;

（2）若 $S_{四边形 PQMN} = \frac{1}{2} S_{◻ABCD}$ ，问是否能推出 $MP / / BC$ 或 $QN / / AB$ ？证明你的结论.