（桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（-优题课

（桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $AC = 40 cm$ ，灯罩 $CD = 30 cm$ ，灯臂与底座构成的 $∠ CAB = 60 °$ ． $CD$ 可以绕点 $C$ 上下调节一定的角度．使用发现：当 $CD$ 与水平线所成的角为 $30 °$ 时，台灯光线最佳．现测得点 $D$ 到桌面的距离为 $49.6 cm$ ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$ 取 $1.73)$ ．

已知：在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ．

（1）求作： $ΔABC$ 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若 $ΔABC$ 的外接圆的圆心 $O$ 到 $BC$ 边的距离为4， $BC = 6$ ，则 $S_{⊙ O} =$ 　　．

小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的图象交 $x$ 轴于点 $(- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．动点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $AB$ 方向运动，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$ ，交抛物线于点 $D$ ，连接 $AC$ ，设运动的时间为 $t$ 秒．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的表达式；

（2）连接 $BD$ ，当 $t = \frac{3}{2}$ 时，求 $ΔDNB$ 的面积；

（3）在直线 $MN$ 上存在一点 $P$ ，当 $ΔPBC$ 是以 $∠ BPC$ 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$ 的坐标；

（4）当 $t = \frac{5}{4}$ 时，在直线 $MN$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $∠ AQC + ∠ OAC = 90 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $Rt Δ ABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，可以推理得到 $ΔABC ≅ ΔDAE$ ，进而得到 $AC = DE$ ， $BC = AE$ ．

我们把这个数学模型称为“ $K$ 型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $Rt Δ ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $BC = 2$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定的角度得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $∠ DAE = ∠ ABC$ ， $DE = 1$ ，连接 $DO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $FC$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，连接 $FB$ ．求证： $F G^{2} = GO \cdot GB$ ．