（百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在-优题课

（百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．
（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．
①求证：OD⊥BC；
②求EF的长．

科目数学题型解答题难度中等

下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．

解： $x (x + 2 y) - {(x + 1)}^{2} + 2 x$

$= x^{2} + 2 xy - x^{2} + 2 x + 1 + 2 x$ 第一步

$= 2 xy + 4 x + 1$ 第二步

（1）小颖的化简过程从第　步开始出现错误；

（2）对此整式进行化简．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, - 4)$ 三点，点 $P$ 是直线 $BC$ 下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点 $P$ ，使 $ΔPOC$ 是以 $OC$ 为底边的等腰三角形？若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点 $P$ 运动到什么位置时， $ΔPBC$ 面积最大，求出此时 $P$ 点坐标和 $ΔPBC$ 的最大面积．

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $CD = 6$ ， $A$ ， $B$ 为圆周上两点，且四边形 $OABC$ 是平行四边形，过 $A$ 点作直线 $EF / / BD$ ，分别交 $CD$ ， $CB$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ， $AO$ 与 $BD$ 交于 $G$ 点．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $AE$ 的长．

某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．

（1）求这种笔和本子的单价；

（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

如图，在 $▱ ABCD$ 中过点 $A$ 作 $AE ⊥ DC$ ，垂足为 $E$ ，连接 $BE$ ， $F$ 为 $BE$ 上一点，且 $∠ AFE = ∠ D$ ．

（1）求证： $ΔABF ∽ ΔBEC$ ；

（2）若 $AD = 5$ ， $AB = 8$ ， $\sin D = \frac{4}{5}$ ，求 $AF$ 的长．