（贵州省安顺市）（本题10分）先化简，再求值：，其中．-优题课

人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成 $6$ 组： $0 \leq x ＜ 20 ， 20 \leq x ＜ 40 ， 40 \leq x ＜ 60 ， 60 \leq x ＜ 80 ， 80 \leq x ＜ 100 ， 100 \leq x \leq 120$ ）

信息二：普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 $40 \leq x ＜ 60$ 这一组的数据是： $58 ， 47 ， 45 ， 40 ， 43 ， 42 ， 50$ ；

信息三： $2010 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数的中位数为＿＿＿＿百万人．

（2）下列结论正确的是＿＿＿＿．（只填序号）

①全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市中人口数大于等于 $100$ （百万人）的有2个地区；

②相对于 $2020$ 年， $2021$ 年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③ $2010 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口自然增长率持续降低．

（3）请写出 $2016 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

如图，小睿为测量公园的一凉亭 $A B$ 的高度，他先在水平地面点 $E$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪DE测得 $∠ A D C ＝ 31 °$ ，然后沿 $E B$ 方向向前走 $3 m$ 到达点 $G$ 处，在点 $G$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪 $F G$ 测得 $∠ A F C ＝ 42 °$ ．求凉亭 $A B$ 的高度．（ $A ， C ， B$ 三点共线， $A B ⊥ B E ， A C ⊥ C D ， C D ＝ B E ， B C ＝ D E$ ．结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52 ， \cos 31 ° \approx 0.86 ， \tan 31 ° \approx 0.60 ， \sin 42 ° \approx 0.67 ， \cos 42 ° \approx 0.74 ， \tan 42 ° \approx 0.90$ ）

如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $A B ＝ A E ， A C ＝ A D ， ∠ B A D ＝ ∠ E A C ， ∠ C ＝ 50 °$ ，求 $∠ D$ 的大小．

如图，已知抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + 3 （ a \neq 0 ）$ 与 $x$ 轴交于 $A （ 1 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$ 的坐标；

（2）若四边形 $B C E F$ 为矩形， $C E ＝ 3$ ．点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位的速度从点 $C$ 沿 $C E$ 向点 $E$ 运动，同时点 $N$ 以每秒 $2$ 个单位的速度从点 $E$ 沿 $E F$ 向点 $F$ 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M 、 E 、 N$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似时，求运动时间 $t$ 的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $P$ ，点 $G$ 是点 $P$ 关于点 $D$ 的对称点，点 $Q$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$ 的直线 $l ： y ＝ kx + m （ | k | ＜ \frac{9}{4} ）$ 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $G A 、 G B$ 相交于点 $H 、 K$ ，求证： $G H + G K$ 为定值．

如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是直径，点 $C$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，延长 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $C E ＝ C D$ ；

（2）若 $A B ＝ 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．