如图，数轴上有A、B、C、D四点，其中与实数最接近的数所对应-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2, BC = 4, ⊙ D$ 的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 $O$ 重合，绕着 $O$ 点转动三角板，使它的一条直角边与 $⊙ D$ 切于点 $H$ ，此时两直角边与 $AD$ 交于 $E, F$ 两点，则 $tan ∠ EFO$ 的值为（）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{4}{3}$

D．

$\frac{2}{3}$

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 $tan 15^{\circ}$ 时，如图所示，在 $R t △ ACB$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, ∠ ABC = 30^{\circ}$ ，延长 $CB$ 使 $BD = AB$ ，连接 $AD$ ，得 $∠ D = 15^{\circ}$ ，所以 $tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CD} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ .类比这种方法，计算 $tan {22.5}^{\circ}$ 的值为（）

A．

$\sqrt{2} + 1$

B．

$\sqrt{2} - 1$

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{1}{2}$

图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $OABC$ .若 $AB = BC = 1, ∠ AOB = α$ ，则 $O C^{2}$ 的值为（）

A．

$\frac{1}{{sin}^{2} α} + 1$

B．

${sin}^{2} α + 1$

C．

$\frac{1}{{cos}^{2} α} + 1$

D．

${cos}^{2} α + 1$

抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax + b^{2} + 1$ 的一部分如图所示，设该抛物线与 $x$ 轴的交点为 $A (- 3, 0)$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若 $△ ACO ∽ △ CBO$ ，则 $b^{2} + 1$ 的值为（）

A．

$1$

B．

$2$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$3$

如图所示， $DE$ 是 $△ ABC$ 的中位线， $F$ 为 $DE$ 上一点，且 $EF = 2 DF, BF$ 的延长线交 $AC$ 于点 $H, CF$ 的延长线交 $AB$ 于点 $G$ ，则 $S_{四边形 AGF H} : S_{△ BFC}$ 等于（）

A．

$1 : 10$

B．

$1 : 5$

C．

$3 : 10$

D．

$2 : 5$