解方程：3x28x30-优题课

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 ax + 4 a - 6 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $a = 6$ 时，直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标：

$A$ 　　， $B$ 　　， $C$ 　　， $D$ 　　；

（2）如图1，直线 $DC$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan ∠ AED = \frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值和 $CE$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 $N$ 为 $OC$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $AN$ 于点 $F$ ；过点 $F$ 作 $FH ⊥ DE$ ，垂足为 $H$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f = FP + FH$ ．

①用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

②设 $- 5 < t ⩽ m (m < 0)$ ，求 $f$ 的最大值．

已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = AC$ ， $∠ ABC$ 的平分线与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，与 $AC$ 交于点 $E$ ，连接 $CD$ 并延长与 $⊙ O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $∠ BAC = α$ ．

（1）如图1，若 $α = 60 °$ ，

①直接写出 $\frac{DF}{DC}$ 的值为　　；

②当 $⊙ O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　　；

（2）如图2，若 $α < 60 °$ ，且 $\frac{DF}{DC} = \frac{2}{3}$ ， $DE = 4$ ，求 $BE$ 的长．

某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知 $1 kg$ 乙产品的售价比 $1 kg$ 甲产品的售价多5元， $1 kg$ 丙产品的售价是 $1 kg$ 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．

（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？

（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 $40 kg$ ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买 $40 kg$ 农产品最少要花费多少元？

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求 $k$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 3, 1)$ 和 $C (4, 0)$ ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 $AB$ ，使点 $A$ 平移到点 $C$ ，画出平移后所得的线段 $CD$ ，并写出点 $D$ 的坐标为　　；

（2）将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后所得的线段 $AE$ ，并直接写出 $\cos ∠ BCE$ 的值为　　；

（3）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $ΔABF$ 的周长最小，并直接写出点 $F$ 的坐标为　　．