一条船由两岸纤夫拉着沿水平面的笔直水渠前进，水流作用可以忽略-优题课

甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

如图所示，以 $A, B$ 和 $C, D$ 为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠 $B$ 点，上表面所在平面与两半圆分别相切于 $B, C$ 。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上 $E$ 点，运动到 $A$ 时刚好与传送带速度相同，然后经 $A$ 沿半圆轨道滑下，再经 $B$ 滑上滑板。滑板运动到 $C$ 时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为 $m$ ，滑板质量 $M = 2 m$ ，两半圆半径均为 $R$ ，板长 $l$ =6.5 $R$ ，板右端到 $C$ 的距离 $L$ 在 $R < L < 5 R$ 范围内取值。 $E$ 距 $A$ 为 $s = 5 R$ 。物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因素均为 $μ$ =0.5，重力加速度取 $g$ 。

⑴求物块滑到 $B$ 点的速度大小；
⑵试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功 $W_{f}$ 与 $L$ 的关系，并判断物块能否滑到 $C D$ 轨道的中点。

$v_{1}$ 如图(a)所示，在以 $O$ 为圆心，内外半径分别为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差 $U$ 为常量， $R_{1} = R_{0}$ ， $R_{2} = 3 R_{0}$ ，一电荷量为 $+ q$ ，质量为 $m$ 的粒子从内圆上的 $A$ 点进入该区域，不计重力。
⑴已知粒子从外圆上以速度 $v_{1}$ 射出，求粒子在 $A$ 点的初速度 $v_{0}$ 的大小。
⑵若撤去电场，如图(b)，已知粒子从 $O A$ 延长线与外圆的交点 $C$ 以速度 $v_{2}$ 射出，方向与 $O A$ 延长线成 $45 °$ 角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。
⑶在图(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为 $v_{3}$ ，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

如图所示，质量 $M = 2 k g$ 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量 $m = 1 k g$ 的小球通过长 $L = 0.5 m$ 的轻质细杆与滑块上的光滑轴 $O$ 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕 $O$ 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度 $v_{0} = 4 m / s$ ， $g$ 取 $10 m / s^{2}$ 。

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点 $P$ 时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

如图甲，在 $x > 0$ 的空间中存在沿 $y$ 轴负方向的匀强电场和垂直于 $x O y$ 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为 $E$ ，磁感应强度大小为 $B$ 。一质量为 $m$ ，带电量为 $q (q > 0)$ 的粒子从坐标原点 $O$ 处，以初速度 $v_{0}$ 沿 $x$ 轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。
⑴求该粒子运动到 $y = h$ 时的速度大小 $v$ ；
⑵现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（ $y - x$ 曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在 $y$ 轴方向上的运动（ $y - t$ 关系）是简谐运动，且都有相同的周期 $T = \frac{2 πm}{q B}$ 。
Ⅰ．求粒子在一个周期 $T$ 内，沿 $x$ 轴方向前进的距离 $s$ ；
Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为 $v_{0}$ 时，其 $y - t$ 图像如图丙所示，求该粒子在 $y$ 轴方向上做简谐运动的振幅 $A_{y}$ ，并写出 $y - t$ 的函数表达式。