在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜-优题课

在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择： $A$ ．模拟驾驶； $B$ ．军事竞技； $C$ ．家乡导游； $D$ ．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）八年级（3）班学生总人数是　　，并将条形统计图补充完整；

（2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．

如图， $AB / / CD$ ， $ΔEFG$ 的顶点 $F$ ， $G$ 分别落在直线 $AB$ ， $CD$ 上， $GE$ 交 $AB$ 于点 $H$ ， $GE$ 平分 $∠ FGD$ ．若 $∠ EFG = 90 °$ ， $∠ E = 35 °$ ，求 $∠ EFB$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 上，且横坐标为1，点 $B$ 与点 $A$ 关于抛物线的对称轴对称，直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，点 $E$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

（1）求线段 $AB$ 的长；

（2）点 $P$ 为线段 $AB$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $H$ ，点 $F$ 为 $y$ 轴上一点，当 $ΔPBE$ 的面积最大时，求 $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 的最小值；

（3）在（2）中， $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 取得最小值时，将 $ΔCFH$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 后得到△ $CF' H'$ ，过点 $F^{'}$ 作 $CF'$ 的垂线与直线 $AB$ 交于点 $Q$ ，点 $R$ 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$ ，使以点 $D$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

对任意一个四位数 $n$ ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 $n$ 为“极数”．

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数 $a$ 是另一个正整数 $b$ 的平方，则称正整数 $a$ 是完全平方数．若四位数 $m$ 为“极数”，记 $D (m) = \frac{m}{33}$ ，求满足 $D (m)$ 是完全平方数的所有 $m$ ．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $O$ 是对角线 $AC$ 的中点，点 $E$ 是 $BC$ 上一点，且 $AB = AE$ ，连接 $EO$ 并延长交 $AD$ 于点 $F$ ．过点 $B$ 作 $AE$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ．

（1）若 $AH = 3$ ， $HE = 1$ ，求 $ΔABE$ 的面积；

（2）若 $∠ ACB = 45 °$ ，求证： $DF = \sqrt{2} CG$ ．

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