已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是．-优题课

如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点，为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①当 $0 < C Q < \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为四边形
②当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形
③当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R = \frac{1}{3}$

④当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为六边形
⑤当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n} \dots$ 和 $B_{1_{}}, B_{2} \dots B_{n} \dots$ 分别在角 $O$ 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$ 相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n - 1} A_{n + 1}$ 的面积均相等.设 $O A_{n} = a_{n}$ 若 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ 则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是.

已知直线 $y = a$ 交抛物线 $y = x^{2}$ 于两 $A, B$ 点.若该抛物线上存在点 $C$ ，使得 $∠ A C B$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为.

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ .若 $b + c = 2 a$ ，则 $3 \sin A = 5 \sin B$ 则角 $C =$ .

若 ${(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为7，则实数 $a =$ .