如图1，在Rt△ABC中，∠B90°，BC2AB8，点D，E-优题课

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当时，；
②当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质对称式和轮换对称式

问题：如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 5$ ， $∠ DAB$ ， $∠ ABC$ 的平分线 $AE$ ， $BF$ 分别与直线 $CD$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $EF$ 的长．

答案： $EF = 2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $AB = 8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $AB$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $EF$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $AB = 8$ ， $AD = 5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体 $ACB$ 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，杯口直径 $AB = 4$ ，且点 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，杯脚高 $CO = 4$ ，杯高 $DO = 8$ ，杯底 $MN$ 在 $x$ 轴上．

（1）求杯体 $ACB$ 所在抛物线的函数表达式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A' CB'$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A' B' / / AB$ ，杯脚高 $CO$ 不变，杯深 $CD'$ 与杯高 $OD'$ 之比为0.6，求 $A' B'$ 的长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 40 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $BD = BC = CE$ ，连结 $CD$ ， $BE$ ．

（1）若 $∠ ABC = 80 °$ ，求 $∠ BDC$ ， $∠ ABE$ 的度数；

（2）写出 $∠ BEC$ 与 $∠ BDC$ 之间的关系，并说明理由．

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $AB$ 固定，高 $AB$ 为 $50 cm$ ，连杆 $BC$ 长度为 $70 cm$ ，手臂 $CD$ 长度为 $60 cm$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $AB$ ， $BC$ 与 $CD$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，使 $∠ ABC = 143 °$ ， $CD / / l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $DE$ 的长（精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110 cm$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

Ⅰ号无人机从海拔 $10 m$ 处出发，以 $10 m / \min$ 的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔 $30 m$ 处同时出发，以 $a (m / \min)$ 的速度匀速上升，经过 $5 \min$ 两架无人机位于同一海拔高度 $b (m)$ ．无人机海拔高度 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 的关系如图．两架无人机都上升了 $15 \min$ ．

（1）求 $b$ 的值及Ⅱ号无人机海拔高度 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 的关系式；

（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．