如图，长方形纸片中，AB10，将纸片折叠，使顶点落在边上的点-优题课

如图，长方形纸片中，AB=10，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上．

图（2）
（1）如图（1），当折痕的另一端在边上且AE=5时，求AF的长
（2）如图（2），当折痕的另一端在边上且BG=13时，求AF的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质对称式和轮换对称式

两个城镇 $A$ ， $B$ 与一条公路 $CD$ ，一条河流 $CE$ 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 $A$ ， $B$ 的距离必须相等，到 $CD$ 和 $CE$ 的距离也必须相等，且在 $∠ DCE$ 的内部，请画出该山庄的位置 $P$ ．（不要求写作法，保留作图痕迹． $)$

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $DC$ ， $DA$ 上，且 $CE = AF$ ．

求证： $∠ ABF = ∠ CBE$ ．

如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为 $1)$ 中，用直尺作出这个大正方形．

如图，抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2} + 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点，与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $AB$ 与抛物线的对称轴交于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 在直线 $AB$ 上方的抛物线上运动．

①点 $P$ 在什么位置时， $ΔABP$ 的面积最大，求出此时点 $P$ 的坐标；

②当点 $P$ 与点 $C$ 重合时，连接 $PE$ ，将 $ΔPEB$ 补成矩形，使 $ΔPEB$ 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC > BC$ ， $D$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AD$ ，作 $ΔADE$ ，使 $AD = AE$ ，且 $∠ DAE = ∠ BAC$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AB$ 于 $F$ ，连接 $FC$ ．

（1）如图1．

①连接 $BE$ ，求证： $ΔAEB ≅ ΔADC :$

②若 $D$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $AC = 6$ ， $BC = 4$ ，求 $CF$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，且四边形 $CDEF$ 是矩形，当 $AC = m$ ， $BC = n$ 时，求 $CD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）．

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