如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4），且经过点N（2,3-优题课

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4），且经过点N（2,3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。

（1）点A、B、C的坐标分别为、、。
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

背景：点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $AC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，分别在射线 $AC$ ， $BO$ 上取点 $D$ ， $E$ ，使得四边形 $ABED$ 为正方形．如图1，点 $A$ 在第一象限内，当 $AC = 4$ 时，小李测得 $CD = 3$ ．

探究：通过改变点 $A$ 的位置，小李发现点 $D$ ， $A$ 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求 $k$ 的值．

（2）设点 $A$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x$ ， $z$ ，将 $z$ 关于 $x$ 的函数称为" $Z$ 函数"．如图2，小李画出了 $x > 0$ 时" $Z$ 函数"的图象．

①求这个" $Z$ 函数"的表达式．

②补画 $x < 0$ 时" $Z$ 函数"的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点 $(3, 2)$ 作一直线，与这个" $Z$ 函数"图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

在扇形 $AOB$ 中，半径 $OA = 6$ ，点 $P$ 在 $OA$ 上，连结 $PB$ ，将 $ΔOBP$ 沿 $PB$ 折叠得到△ $O' BP$ ．

（1）如图1，若 $∠ O = 75 °$ ，且 $BO'$ 与 $\hat{AB}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $∠ APO'$ 的度数．

②求 $AP$ 的长．

（2）如图2， $BO'$ 与 $\hat{AB}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\hat{AB}$ 的中点，且 $PD / / OB$ ，求 $\hat{AB}$ 的长．

某游乐场的圆形喷水池中心 $O$ 有一雕塑 $OA$ ，从 $A$ 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为 $x$ 轴，点 $O$ 为原点建立直角坐标系，点 $A$ 在 $y$ 轴上， $x$ 轴上的点 $C$ ， $D$ 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 $y = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + 6$ ．

（1）求雕塑高 $OA$ ．

（2）求落水点 $C$ ， $D$ 之间的距离．

（3）若需要在 $OD$ 上的点 $E$ 处竖立雕塑 $EF$ ， $OE = 10 m$ ， $EF = 1.8 m$ ， $EF ⊥ OD$ ．问：顶部 $F$ 是否会碰到水柱？请通过计算说明．

小聪、小明准备代表班级参加学校"党史知识"竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．

（2）求小聪成绩的方差．

（3）现求得小明成绩的方差为 $S_{小明}^{2} = 3$ （单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．

已知：如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $∠ BOC = 120 °$ ， $AB = 2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $OE ⊥ AD$ 于点 $E$ ，连结 $BE$ ．记 $∠ ABE = α$ ，求 $\tan α$ 的值．