如图，已知过椭圆的左顶点A（－a，0）作直线l交y轴于点P，-优题课

若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} + a_{5} = 40$ ，则公比 $q =$ ；前n项和 $S_{n} =$ .

在极坐标系中，点 $(2, \frac{π}{6})$ 到直线 $ρ \sin θ = 2$ 的距离等于

当 $x \in R, |x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ 两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \dots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x + \dots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x} d x$ .从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots = \ln 2$ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} C_{n}^{1} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} C_{n}^{2} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} C_{n}^{n} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} =$ .

椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,焦距为 $2 c$ ，若直线 $y = \sqrt{3} (x + c)$ 与椭圆的一个交点满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ,则该椭圆的离心率等于.

如图，在 $∆ A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D ⊥ A C, \sin ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B = 3 \sqrt{2}, A D = 3$ ,则 $B D$ 的长为.