解方程组（1）；（2）-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = = 2$ ， $AD = \sqrt{3}$ ， $P$ 是 $BC$ 边上的一点，且 $BP = 2 CP$ ．

（1）用尺规在图①中作出 $CD$ 边上的中点 $E$ ，连接 $AE$ 、 $BE$ （保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条件下，判断 $EB$ 是否平分 $∠ AEC$ ，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接 $EP$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AP$ ，不添加辅助线， $ΔPFB$ 能否由都经过 $P$ 点的两次变换与 $ΔPAE$ 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $AB = 4$ ，点 $C$ 在半圆上， $OC ⊥ AB$ ，垂足为点 $O$ ， $P$ 为半圆上任意一点（不与点 $C$ 重合），过 $P$ 点作 $PE ⊥ OC$ 于点 $E$ ，设 $ΔOPE$ 的内心为 $M$ ，连接 $OM$ 、 $PM$ ．

（1）求 $∠ OMP$ 的度数；

（2）当点 $P$ 在半圆上从点 $B$ 运动到点 $A$ 时，求内心 $M$ 所经过的路径长．

六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离 $y$ （单位： $m)$ 与滑行时间 $x$ （单位： $s)$ 之间的关系可以近似的用二次函数来表示．

滑行时间 $x / s$	0	1	2	3	$\dots$
滑行距离 $y / m$	0	4	12	24	$\dots$

（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约 $800 m$ ，他需要多少时间才能到达终点？

（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．

图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的 $A$ 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．

（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 $C$ 处的概率是　　

（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 $C$ 处的概率．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE$ 是 $BC$ 边上的高，点 $F$ 是 $DE$ 的中点， $AB$ 与 $AG$ 关于 $AE$ 对称， $AE$ 与 $AF$ 关于 $AG$ 对称．

（1）求证： $ΔAEF$ 是等边三角形；

（2）若 $AB = 2$ ，求 $ΔAFD$ 的面积．