从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数,问:
(Ⅰ)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(Ⅱ)上述七位数中三个偶数排在一起的概率?
(Ⅲ)在(Ⅰ)中任意两偶数都不相邻的概率?
(本小题满分13分)如图,直四棱柱的底面是菱形,侧面是正方形,
,
是棱
的延长线上一点,经过点
、
、
的平面交棱
于点
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(本小题满分13分)某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了100株树苗,分别测出它们的高度(单位:),并将所得数据分组,画出频率分布表如下:
组 距 |
频 数 |
频 率 |
[100,102) |
17 |
0.17 |
[102,104) |
18 |
0.18 |
[104,106) |
24 |
0.24 |
[106,108) |
![]() |
![]() |
[108,110) |
6 |
0.06 |
[110,112) |
3 |
0.03 |
合计 |
100 |
1 |
(1)求上表中、
的值;
(2)估计该基地榕树树苗平均高度;
(3)基地从上述100株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究,其中在[110,112)内的有株,求
的分布列和期望.
(本小题满分12分)已知顶点的直角坐标分别是
、
、
.
(1)求的值;
(2)若,证明:
、
、
三点共线.
(本小题满分13 分)已知函数.
(Ⅰ)若函数在定义域内单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于x的方程
在
上恰有两个不等的实根,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列满足
,
求证:.
(本小题满分14分)如图,已知椭圆C:的离心率
,短轴的右端点为B, M(1,0)为线段OB的中点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P,Q试问在x轴上是否存在定点N,使得∠PNM =∠QNM ?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.