如图是二次函数yax2bxc的部分图象，由图象可知该二次函数-优题课

先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x^{2} + 4 x + 4}$ ，其中 $x ＝ 4$ ．

计算： $（ ﹣ 1 ）^{2022} + \sqrt{9} - 2 \sin (30 °)$ ．

中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．

问题：此图中，正方形一条对角线 $A B$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $M 、 N$ （点 $N$ 在点 $M$ 的右上方），若 $A B$ 的长度为 $10$ 丈， $⊙ O$ 的半径为 $2$ 丈，则 $B N$ 的长度为　　丈．

如图所示，已知 $∠ M O N ＝ 60 °$ ，正五边形 $A B C D E$ 的顶点 $A 、 B$ 在射线 $O M$ 上，顶点 $E$ 在射线 $O N$ 上，则 $∠ A E O ＝$ 　　度．

如图所示，矩形 $A B C D$ 顶点 $A 、 D$ 在y轴上，顶点 $C$ 在第一象限， $x$ 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形 $A B C D$ 的面积为 $6$ ．若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $C$ ，则 $k$ 的值为　　．