如图所示，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小随时间-优题课

一个半圆形玻璃砖，某横截面半径为 $R$ 的半圆， $A B$ 为半圆的直径。 $O$ 为圆心，如图所示，玻璃的折射率为 $n = \sqrt{2}$

（i）一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在 $A B$ 上的最大宽度为多少？
（ii）一细束光线在 $O$ 点左侧与 $O$ 相距处垂直于 $A B$ 从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置。

一定质量的理想气体被活塞封闭在竖直放置的圆形气缸内，汽缸壁导热良好，活塞可沿汽缸壁无摩擦地滑动。开始时气体压强为 $p$ ，活塞下表面相对于气缸底部的高度为 $h$ ，外界的温度为 $T_{0}$ 。现取质量为 $m$ 的沙子缓慢地倒在活塞的上表面，沙子倒完时，活塞下降了 $h / 4$ 。若此后外界的温度变为 $T$ ，求重新达到平衡后气体的体积。已知外界大气的压强始终保持不变，重力加速度大小为 $g$ 。

如图， $O$ 、 $A$ 、 $B$ 为同一竖直平面内的三个点， $O B$ 沿竖直方向， $∠ B O A = 60 °$ ， $O B = \frac{3}{2} O A$ .将一质量为 $m$ 的小球以一定的初动能自 $O$ 点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过 $A$ 点。使此小球带电，电荷量为 $q$ （ $q$ ＞0），同时加一匀强电场，场强方向与 $△ O A B$ 所在平面平行，现从 $O$ 点以同样的初动能沿某一方向抛出此带点小球，该小球通过了 $A$ 点，到达 $A$ 点时的动能是初动能的3倍；若该小球从 $O$ 点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过 $B$ 点，且到达 $B$ 点的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为 $g$ 。求

（1）无电场时，小球达到 $A$ 点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向。

公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止后，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下来而不会与前车相碰。同通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 $1 s$ 。当汽车在晴天干燥的沥青路面上以180 $k m / h$ 的速度匀速行驶时，安全距离为120 $m$ 。设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的，若要求安全距离仍未120 $m$ ，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。

如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 $θ = 30 °$ 的斜面上，导轨电阻不计，间距 $L = 0.4 m$ ，导轨所在空间被分成区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为 $M N$ ，I中的匀强磁场方向垂直斜面向下，II中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 $B = 0.5 T$ 。在区域I中，将质量 $m_{1} = 0.1 k g$ ，电阻 $R_{1} = 0.1 Ω$ 的金属条 $a b$ 放在导轨上， $a b$ 刚好不下滑。然后，在区域II中将质量 $m_{2} = 0.4 k g$ ，电阻 $R_{2} = 0.1 Ω$ 的光滑导体棒 $c d$ 置于导轨上，由静止开始下滑， $c d$ 在滑动过程中始终处于区域II的磁场中， $a b 、 c d$ 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 $g = 10 m / s^{2}$

（1） $c d$ 下滑的过程中， $a b$ 中的电流方向；
（2） $a b$ 刚要向上滑动时， $c d$ 的速度 $v$ 多大？
（3）从 $c d$ 开始下滑到 $a b$ 刚要向上滑动的过程中， $c d$ 滑动的距离 $x = 3.8 m$ ，此过程中 $a b$ 上产生的热量 $Q$ 是多少？